Let the number be \(N\).
Given:
\[
N \equiv 2 \pmod{3}
\]
\[
N \equiv 1 \pmod{4}
\]
\[
N \equiv 4 \pmod{7}
\]
Using successive division concept:
First combine conditions of \(4\) and \(7\).
Since \(4 \times 7 = 28\), check numbers of form:
\[
N = 7k + 4
\]
Now satisfy \(N \equiv 1 \pmod{4}\).
\[
7k + 4 \equiv 1 \pmod{4}
\]
\[
7k \equiv -3 \equiv 1 \pmod{4}
\]
\[
3k \equiv 1 \pmod{4}
\]
Trial gives \(k = 3\).
\[
N = 7(3) + 4 = 25
\]
Now check condition for \(3\):
\[
25 \div 3 \Rightarrow \text{remainder } 1
\]
To make remainder \(2\), add LCM of \(4\) and \(7\), i.e., \(28\).
\[
25 + 28 = 53
\]
Now,
\[
53 \div 3 \Rightarrow \text{remainder } 2
\]
Thus smallest such number \(= 53\).
Since \(84 = 3 \times 4 \times 7\),
the remainder when \(84\) divides the number is 53.
ধরি সংখ্যাটি \(= N\)
দেওয়া আছে:
\[
N \equiv 2 \pmod{3}
\]
\[
N \equiv 1 \pmod{4}
\]
\[
N \equiv 4 \pmod{7}
\]
প্রথমে \(4\) ও \(7\) একত্র করি।
\(4 \times 7 = 28\)
ধরি,
\[
N = 7k + 4
\]
এখন \(4\) দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট \(1\) হবে:
\[
7k + 4 \equiv 1 \pmod{4}
\]
\[
3k \equiv 1 \pmod{4}
\]
পরীক্ষা করে পাই \(k = 3\)
\[
N = 7(3) + 4 = 25
\]
এখন \(3\) দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট \(1\) হয়।
অবশিষ্ট \(2\) করতে \(28\) যোগ করি:
\[
25 + 28 = 53
\]
অতএব ক্ষুদ্রতম সংখ্যা \(= 53\)
যেহেতু \(84 = 3 \times 4 \times 7\),
অতএব অবশিষ্ট হবে 53।
