\(ABC\) is a right-angled triangle, \(B\) being the right angle. Mid-points of \(BC\) and \(AC\) are respectively \(B'\) and \(A'\). The ratio of the area of the quadrilateral \(AA'BB'\) to the area of \(\triangle ABC\) is:

Practice MCQ for SSC, UPSC, RRB Exams

A. 1 : 2 A. 1 : 2

B. 2 : 3 B. 2 : 3

C. 3 : 4 C. 3 : 4

D. 1 : 3 D. 1 : 3

Let the right-angled triangle \(ABC\) have right angle at \(B\). Assume \(AB = a\) and \(BC = b\).

Area of \(\triangle ABC = \frac{1}{2}ab\)

Since \(A'\) is midpoint of \(AC\) and \(B'\) is midpoint of \(BC\):

\(AA'\) and \(BB'\) divide the triangle into smaller regions.

Area of \(\triangle A'B'C = \frac{1}{4}\) Area of \(\triangle ABC\)

Therefore, area of quadrilateral \(AA'BB'\) =

\[ \text{Area of } \triangle ABC - \text{Area of } \triangle A'B'C = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Hence, the required ratio is \(\frac{3}{4}\).

ধরি সমকোণী ত্রিভুজ \(ABC\)-তে \(B\) বিন্দুতে সমকোণ আছে। ধরি \(AB = a\) এবং \(BC = b\)।

\(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2}ab\)

যেহেতু \(A'\) হলো \(AC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(B'\) হলো \(BC\) এর মধ্যবিন্দু:

\(AA'\) এবং \(BB'\) ত্রিভুজটিকে ছোট ছোট অংশে বিভক্ত করে।

\(\triangle A'B'C\) এর ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{4}\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল।

অতএব, চতুর্ভুজ \(AA'BB'\) এর ক্ষেত্রফল =

\[ \triangle ABC \text{ এর ক্ষেত্রফল} - \triangle A'B'C \text{ এর ক্ষেত্রফল} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

সুতরাং প্রয়োজনীয় অনুপাত \(\frac{3}{4}\)।

Practice MCQ for SSC, UPSC, RRB Exams